Глава 2. Математика и музыка

---

Математику мы связываем с чем-то рациональным, сухим, а музыку — с областью чувств. Нам кажется, что музыка и математика совсем не похожи. Две такие противоположности. Но давайте разберемся, так ли это? И что общего между математикой и музыкой.

Математика — наука о величинах, их свойствах и законах их соединения.

Музыка — вид искусства, оперирует звуками, особым образом соединяет их во времени.

Людей давно интересовал вопрос о связи музыки и математики. Многие ученые-математики посвящали свои работы исследованиям музыки: Г. Лебниц, Д.Бернулли, Р.Декарт, Л.Эйлер.

Леонард Эйлер в своей диссертации «стремится представить музыку как часть математики.» У Рене Декарта есть «Трактат о музыке.»

Готфрид Лейбниц писал:» Музыка есть таинственная арифметика души, она вычисляет сама того не подозревая.»
Иоганн Себастьян Бах был не только великим музыкантом, но и выдающимся математиком. Его ХТК («Хорошо темперированный клавир») и Инвенции — сплошная математика, всё по правилам, всё по формулам. Никаких отклонений не подразумевается, как и в математических вычислениях, формулах.

Ещё в Древней Греции математику и музыку называли родными сестрами, а со времен Пифагора, в так называемую пифагорийскую систему знаний, наряду с арифметикой, геометрией и астрономией, входила наука о музыке.

Пифагорейцы предполагали. что число — некая абстракция, первооснова, формообразующий принцип всего существующего. Число рассматривалось ими в различных ипостасях: «бог-число», «искусство — число», «вещь — число» и прочее. Эта гармонично проявляющаяся конструкция сущности мира, бытия — «строй мира», представлялась ими, как «музыкально-числовой космос». Музыкальная гармония мыслилась как логически построенная система, объединяющая математику, музыку в единую сущность космоса, души, конкретных вещей.

Считалось, что гармония чисел и звуков упорядочивает хаотичность мышления. Пифагор и его учение рассматривали музыку не только как искусство, но и как науку о числах.

Пифагорейский музыкальный строй, господствующий в европейской музыке века, — это математика. Основная суть в том, что сочетания звуков, издаваемых струнами, благозвучны, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу. Пифагор обнаружил, что приятные слуху созвучия — консонансы, соотносятся как целые числа первой четверки, т.е. 1:2; 2:3; 3:4. Для подтверждения своего открытия Пифагор использовал монохорд — полуприбор, полуинструмент, с которым он проделывал свои опыты, а затем описал математическое звучание натянутой струны.

Музыкальный инструмент — лира, являющийся эмблемой всего музыкального искусства, был создан с учетом правильных математических сочетаний. Выяснилось, что длины трех струн ( ноты до, ми, соль — мажорный аккорд приятный слуху) имеют в своей основе гармоническую пропорцию, а числа колебаний этих струн — непрерывную арифметическую пропорцию. Длины струн относятся, как числа: 1; 4/5; 2/3, а число колебаний как :1; 5/4; 3/2 или 4:5:6, в итоге получается непрерывная арифметическая пропорция.

Число, как основа космической меры, обнаруженное в музыке, лежит в основе музыкально-числовой гармонии. Космические сферы, настроенные на определенный тон, дают в итоге «музыку небесных сфер»- так считали пифагорейцы.

Давайте поговорим о гармонии сфер и взглядах пифагорейцев на устройство всего мира. Сейчас мы знаем, как устроена Солнечная система, что планеты, в том числе и Земля, вращаются вокруг Солнца. Пифагорийцы считали, что Земля шарообразна и находится в центре Вселенной. Солнце, Луна, планеты: Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн , движутся вокруг Земли. Расстояния от них до Земли такие, что составляют как-бы семиструнную арфу. При движении планет возникает чудесная музыка — музыка сфер. Находясь на разных расстояниях от Земли, планеты и звезды издают неслышимые человеку гармонические звуки, высоты которых пропорциональны скорости движения тел. Музыкальные интервалы планет:

• от сферы Земли до сферы Луны — один тон;
• от сферы Луны до сферы Меркурия -полтона;
• от Меркурия до Венеры — полтона;
• от Венеры до Солнца — полтона;
• от Солнца до Марса — один тон;
• от Марса до Юпитера — полтона;
• от Юпитера до Сатурна — полтона;
• от Сатурна до неподвижных звезд — полтона.

Сумма этих интервалов равна 6 тонам октавы.

А все интервалы создают диапазон — совершенный гармонический интервал. По легенде Пифагор был единственным человеком, который слышал эту «небесную музыку.»

Считается, что пифагорейцы открыли «золотую пропорцию» — точку золотого сечения, которая в музыке определяла точное место кульминации в музыкальном произведении, например.

Известно, что целое состоит из частей. Эти части находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.
Что же такое «золотое сечение»?

«Золотым сечением» древние математики называли деление отрезка таким образом, что длина его большей части так относится к длине всего отрезка, как длина меньшей части к большей. Приблизительно такое соотношение равно 0,618 или 5/8. Неизвестно доподлинно, кто изобрел «золотое сечение» — египтяне, вавилонцы, Пифагор или кто-то другой.
Цифры, выражающие длины отрезков «золотого сечения» выстраиваются в «ряд Фибоначчи». Музыканты пользовались им в древности.

Знаменитые «числа Фибоначчи» : 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 и т.д. — каждый член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 2+3=5; 3+5=8 и т.д. А отношение рядом стоящих чисел приближается к отношению «золотого сечения» (деления). Например, 21:34=0,617; 34:55=0,618 ( при делении большего числа на меньшее 1,618).

Русский музыкальный критик и композитор Л.Л. Сабанеев, проанализировав почти 2 тысячи музыкальных произведений свыше 40 авторов, доказал, что чем талантливее композитор, тем в большем количестве его произведений присутствует «золотое сечение» (у ученого были свои выработанные критерии и оценки).»Золотое сечение» придаёт особую стройность в звучании музыкального сочинения.

С какой же еще точки зрения рассмотреть нам связь музыки и математики?

Рассмотрим эту связь с точки зрения теоретического построения математики и музыки.

Основой в математике служит арифметический счет, как числовой ряд с определенной последовательностью: каждое последующее число больше предыдущего на единицу. В музыке гаммой или звукорядом называется последовательность звуков, расположенных от основного тона (звука) в восходящем или нисходящем порядке.

Перемещаясь по числовому ряду, мы производим арифметические действия с числами (от 3 на 4 единицы — к 7, 3+4=7). Подобным образом можно вычислить музыкальный звук, перемещаясь по музыкальному ряду. Интервал в музыке как раз не что иное, как вычисление разности между двумя звуками. Музыканты так и воспринимают интервалы: отрезок от 1 до 5, если слышат квинту, от 1 до 4 — кварту, от 1 до 7 — септиму и т.д.

Любое музыкальное произведение имеет свою логику и числовые характеристики. Музыкальная форма — это как раз, соотношение частей музыкального произведения. Музыкальная форма состоит из мотивов, фраз, предложений, периодов, которые образуют мелодию. На мотив обычно приходится 1-2 такта, из 2-х — 3-х мотивов строится фраза — законченное музыкальное построение. 2 фразы — предложение; 2 предложения — период, т.е. законченный раздел, завершающийся кадансом. Период, как правило, состоит из 8 или 16 тактов. Типы музыкальных форм возникают от различных способов развития и сопоставления элементов мелодии. Например, из 2-х периодов — двухчастная форма, из 3-х — трехчастная. Тебе, наверное, известны названия таких музыкальных форм: тема с вариациями, фуга, сонатная форма, рондо. куплетная форма, смешанная форма. Изучив теорию музыки, определенные формулы музыкального построения, можно научиться сочинять музыку.

Добавить сюда еще талант! И вот ты — уже композитор !

Всем, кто учился в музыкальной школе или просто обучался музыке, известен такой термин — сольфеджио. Он объединяет и дисциплину, предназначенную для развития музыкального слуха, музыкальной памяти, и специальные вокальные упражнения. Так вот, считается, что сольфеджио уж точно музыкальная математика, требующая математических навыков вычислений, построения цепочек, логического ума. Без сольфеджио будущему музыканту не обойтись!

А вот если рассмотреть длительность нот в музыке. За единицу измерения берется «целая нота», а другие получаются в результате деления: половинная -1/2; четвертная — 1/4; восьмая -1/8 и т.д. Вот тебе и дроби — как в математике. Относительной длительностью называют продолжительность данного звука в сравнении с другими. Абсолютная длительность звука в музыке задается темпом, т.е. скоростью звучания, а именно показателем скорости по метроному. и доля такта — это музыкальный размер. В музыкальном размере 3/4, например, цифра 4 показывает, что долей такта является четвертная нота и их 3 в такте — количество долей ( в данном размере).

Абсолютная длительность звуков является важнейшим условием музыкальной выразительности, которая, в конечном итоге, влияет на замысел музыкального произведения. Как и музыкальный ритм — чередование и соотношение музыкальных длительностей и акцентов. Часто ритм определяет характер и жанр музыки. Например, цифра «2» лежит в основе четкой маршеобразной музыки, «3» — в основе всех вальсовых ритмов.

А нотный стан : 5 параллельных прямых, для записи музыки в виде нот. Измерить высоту нот нам как раз и помогают параллельные линейки. У каждой ноты своя линеечка или место между линиями. Параллельные линии можно увидеть и во внешней форме некоторых музыкальных инструментов, например, струны арфы, трубы органа. Параллели могут быть и в звучании музыки: например, пение мелодии в унисон более высоким, женским, в верхнем регистре, и более низким, мужским, в нижнем регистре, голосом. В музыке есть так же такое понятие, как «полиметрия» — запись двух параллельно звучащих музыкальных партий в разных музыкальных размерах. Вот как!

Параллели есть в математике и в музыке! Тоже нечто общее!

Давай поговорим о противоположностях. В математике противоположности:

отрицательное число — положительное число;
плюс — минус;
сложение — вычитание;
умножение — деление;
четное число — нечетное число;
прямая — кривая;
больше — меньше.

В музыке противоположности:

высокое — низкое;
медленно — быстро;
длинный — короткий;
громкий — тихий;
многоголосие — одноголосие.

Музыка часто служит источником исследований во многих математических областях, например, таких, как абстрактная алгебра, теория множеств и теория чисел.

В музыке часто используются и другие математические термины и понятия. Симметрия, например. И не только математические, но и из других наук. Из физики, например. Если учесть, что звук имеет волновую природу, можно очень многое написать в связи с этим. Или можно поговорить о связи информатики и музыки. Компьютерная музыка — современная история. Но это будет уже другая тема.

Что же мы можем сказать, подводя итог?

Связь математики и музыки — одна из самых древних. Мы очень подробно рассмотрели этот момент. Вспомнили Пифагора и его школу.

Какие-то знания, которыми пользовались в древности, не устарели. Что-то из прежних взглядов вызывает улыбку. Но человеку свойственно стремление все объяснить, сделать такую попытку, исходя из знаний, которыми он обладает на данный момент. Казалось бы , все — просто!

Но никому еще не удавалось найти общий алгоритм , порождающий красивую мелодию. Разгадать, в чем тайна неповторимости, гениальности, вдохновения, совершенства?

Мир един. Хотя музыка и математика — два полюса человеческой культуры, музыкальные и математические операции родственны. Мир звуков и пространство чисел соседствуют друг с другом. «Математика ум в порядок приводит», музыка формирует нравственные черты человека, помогает более тонко чувствовать и понимать окружающий мир.

Занимайтесь музыкой! Так вы развиваете математические способности! Изучайте математику! Тем самым вы помогаете себе в приобретении еще большей музыкальности! И помните, что в мире все связано!